Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Deel
    avatar
    WCP
    Wiskundemaestro

    Leeftijd : 24
    Speciale vermogens : Ik krijg mijn pot nacho cheese niet open.

    Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van WCP op wo jun 04, 2014 6:04 pm

    Omdat ik niet wil dat menig forumganger uit de titel een zekere vorm van arrogantie zou kunnen afleiden, schuif ik bij deze de schuld in de schoenen van Ura-senpai, die mij de titel gedeeltelijk heeft aangeraden en goedgekeurd.

    Ongetwijfeld zullen de meesten onder jullie al gemerkt hebben dat ik vrij veel van mijn vrije (en niet-vrije) tijd spendeer aan het bedrijven en bestuderen van de wiskunde. Voor velen van jullie staat wiskunde synoniem met het hersenloos instuderen van regeltjes (ik denk bijvoorbeeld aan de rekenregels voor afgeleiden en integralen) die jullie zonder motivatie de keel ingeramd worden.
    Maar niets is minder waar! De werkelijke toedracht van wiskunde is natuurlijk deze regels te ondersteunen met logische en liefst conceptuele (in tegenstelling tot kunstmatige) bewijzen waarbij men uitgaat van fundamentele waarheden, die men axioma's noemt (die hopelijk onderling geen tegenstrijdigheden opleveren). De bezorgde lezer vraagt zich terecht af of er een mechanisme is dat ons iets kan vertellen of een willekeurige familie van axioma's onderling strijdig zijn: dit is het onderwerp van de modeltheorie (waar ik niet verder op zal ingaan), een tak van de wiskunde die het onderwerp van deze openingspost heeft geïnspireerd.

    Uiteraard zijn strijdigheden in het algemeen de ergste nachtmerrie van een zuiver wiskundige. De eenvoudige reden is dat je in een inconsistent systeem alles kan bewijzen. Beschouw immers een theorie T met een eindig aantal axioma's A1, A2, ..., An en definieer de waarheidswaarde van een logische formule (die gevormd wordt uit een disjunctie en conjunctie van deze axioma's: dit zijn de gekende logische AND- en OF-operatoren) als het beeld onder de afbeelding f : T ---> {0,1} waarbij een logische formule wordt toegekend aan zijn waarheidswaarde binnen het systeem. In een consistent systeem geldt dat f(x) =/= f(-x), waarbij het symbool -x de ontkenning van x voorstelt. We zeggen dat een logische formule x waar is als f(x) =1, en onwaar als f(x) = 0. Om de waarheids waarde van een willekeurige formule x te berekenen, volstaat het om de waarheidswaarde te kennen van de elementen waaruit ze is opgebouwd (deze rekenregels zal ik later in een mooie symbolische vorm noteren). Zo'n formule x is per definitie niets anders dan p_1 AND p_2 AND ... OR p'_(n-1) OR p'_n (mits een gepaste transpositie van de onderlinge relaties tussen de elementen, want p AND p' OR p'' is natuurlijk niet hetzelfde als p AND p'' OR p'), waarbij elke p_i een reeds bewezen logische formule is (een formule is bewijsbaar als zij een gevormd kan worden uit eerder bewezen formules). Onder deze voorwaarden vormen logische formules in een systeem een algebra, waar ik later verder op zal ingaan.

    Tijd om weer de gedachten te vestigen. Onderstel dus dat x bewijsbaar is in T en dat f(x) = f(-x) = 1, voor een zekere logische formule x. We kunnen dus weer nieuwe formules bewijzen met deze formules. Stel dat y zo'n formule is en dat x y impliceert (dit noteren we als x ==> y). Het principe van contrapositie vertelt ons dat x ==> y <==> -y ==> -x. Aangezien bij onderstelling x altijd waar is als -x waar is, geldt -x <==> x ==> y. We kunnen dus ook bewijzen dat -y waar is!

    Je zou denken dat strijdigheden gemakkelijk zijn in te zien, maar de geschiedenis leert ons dat het gevaar voor adders onder het gras altijd reëel is. Zo is bijvoorbeeld de verzameling R = {x : x is geen element van zichzelf}, waarbij de elementen van R zelf verzamelingen zijn (in een bepaald universum van verzamelingen), een ware revelatie op dat vlak. Laat ons immers eens kijken of R zichzelf bevat. Als dat niet zo zou zijn, geldt duidelijk dat R zichzelf bevat, per definitie van R. Maar dan bevat R wél zichzelf, en is ze dus toch geen element van R! Deze strijdigheid staat bekend als de paradox van Russell, die enkele jaren later werd opgelost door de axiomatisatie van de verzamelingenleer.

    En het is juist één van die axioma's waar ik jullie attent op wil maken: het keuzeaxioma. Dit axioma zegt informeel dat voor een gegeven collectie verzamelingen van verzamelingen, er steeds een manier bestaat om uit elke verzameling één element te kiezen. Dit lijkt erg onschuldig, maar dit axioma geeft echter aanleiding tot een van de meest vreemde stellingen uit de wiskunde: de stelling van Banach-Tarski, en die luidt als volgt:

    Zij B een massieve bol in R^3. Dan kan B in vijf disjuncte stukken worden opgesplitst die na translaties en rotaties twee bollen oplevert die elk hetzelfde volume hebben als B.

    Een merkwaardig resultaat! Voor veel wiskundigen zijn contra-intuïtieve resultaten als deze stelling een reden om het keuzeaxioma niet aan te nemen: dit is volkomen legitiem, aangezien aangetoond is dat het keuzeaxioma niet bewijsbaar is uitgaande van de andere axioma's van ZFC (Dit zijn de axioma's van de moderne verzamelingenleer mét keuzeaxioma. Het axiomastelsel zonder het keuzeaxioma noemt men ZF.), maar dan krijg je dus wel een 'andere wiskunde'. Maar vele wiskundigen leggen problemen als deze naast zich neer, omdat het keuzeaxioma té intuïtief is om niet aan te nemen, en omdat het garant staat voor interessante stellingen die dan weer onwaar worden in ZF.

    Zo, dit besluit de OP voor het wiskundetopic. Ze is nog niet helemaal af, maar ik wou ze toch al posten omdat ik jullie al een voorsmaakje wou geven waar er zoal kan gebeuren in de moderne wiskunde. (Mijn -hopelijk- volgende grote post zal een semi-rigoreuze wiskundige onderbouwing zijn van de westerse kwintencirkel bekend uit de muziektheorie.) De bedoeling van dit topic ken ik eigenlijk zelf niet. Het zou leuk zijn als er interessante reacties geplaatst worden en discussies over wiskunde plaatsvinden. Expliciete regels die niet behoren tot de algemene forumgeest heb ik niet in gedachten, dus ga je vrije loop en discussieer over wiskunde!


    Laatst aangepast door WCP op vr sep 12, 2014 12:17 am; in totaal 6 keer bewerkt


    _______________________

    "Mattentaarten zijn best wel oké."  -WCP, Yuyucon 4
    avatar
    Graan
    Graan

    Leeftijd : 27
    Speciale vermogens : Groeien

    Re: Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van Graan op wo jun 04, 2014 9:38 pm

    Ik denk dat je met moeilijke woorden en aftakkingen naar willekeurige onderwerpen juist mensen afschrikt.


    _______________________

    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
    7 konten.
    avatar
    Yukari
    Maker van Voedsel Dat Eruit Ziet Alsof Je Er Dood Van Gaat, Aldus UNOwen

    Leeftijd : 19
    Speciale vermogens : (Matcha)baksels.

    Re: Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van Yukari op wo jun 04, 2014 9:40 pm

    WCP, dat was geweldig geschreven, maar ik ben bang dat ik er nog steeds niets van snap.


    _______________________

    avatar
    WCP
    Wiskundemaestro

    Leeftijd : 24
    Speciale vermogens : Ik krijg mijn pot nacho cheese niet open.

    Re: Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van WCP op wo jun 04, 2014 9:49 pm

    Graan schreef:Ik denk dat je met moeilijke woorden en aftakkingen naar willekeurige onderwerpen juist mensen afschrikt.  

    Uiteraard had ik voordat ik dit topic maakte me al voorgenomen dat het doelpubliek beperkt zou zijn. Maar volgens mij heb ik zo duidelijk mogelijk élke technische term die ik heb gebruikt gedefinieerd. Als je een voorbeeld in de tekst kan aanwijzen waarin dat niet het geval is, wil ik dat graag van je horen!

    Dat hak-op-de-tak-gevoel is wellicht niet onterecht, al ben ik het niet eens met je woordkeuze: de vertakkingen waren allerminst willekeurig. Velen weten niet dat échte wiskunde steunt op formele deducties in axiomatische systemen, en het is precies dit wat ik wou duidelijk maken, terwijl ik toch wou wijzen op de toch wel vreemde wendingen die zich alsnog kunnen voordoen. Als je je kritiek misschien preciezer kan formuleren, sta ik er altijd voor open.

    Yukari schreef:WCP, dat was geweldig geschreven, maar ik ben bang dat ik er nog steeds niets van snap.

    Dat is enkel normaal, want erg coherent uitgelegd is het niet. Ik vrees ook dat ik op sommige punten uitgegaan ben van een maturiteit waarover de meeste lezers niet beschikken, maar er komen, als er animo voor is, zeker updates!


    _______________________

    "Mattentaarten zijn best wel oké."  -WCP, Yuyucon 4
    avatar
    Yukari
    Maker van Voedsel Dat Eruit Ziet Alsof Je Er Dood Van Gaat, Aldus UNOwen

    Leeftijd : 19
    Speciale vermogens : (Matcha)baksels.

    Re: Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van Yukari op wo jun 04, 2014 10:28 pm

    WCP schreef:Dat is enkel normaal, want erg coherent uitgelegd is het niet. Ik vrees ook dat ik op sommige punten uitgegaan ben van een maturiteit waarover de meeste lezers niet beschikken, maar er komen, als er animo voor is, zeker updates!
    Ik vond het juist wel leuk om een topic in zo'n schrijfstijl te zien, eigenlijk.


    _______________________

    avatar
    Rage
    Über-Senpai

    Leeftijd : 30
    Speciale vermogens : Diplomatic Immunity

    Re: Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van Rage op do jun 05, 2014 12:58 am

    WCP, je weet dat je deze zag aankomen.

    "Let's do some Me(a)th?"


    _______________________

    "Time to [Censored] some face!"
    -Random Namekian
    avatar
    Urameshiya
    Beheerder

    Leeftijd : 26
    Speciale vermogens : Ik kan matcha detecteren op ongeveer 863 meter afstand.

    Re: Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van Urameshiya op do jun 05, 2014 1:19 am

    Haha, eindelijk is het er! Interessant geschreven, WCP! Ik ben erg benieuwd wat je over kwintencirkels te zeggen gaat hebben.


    _______________________

    Namens het Dagelijks Bestuur van de Trappen van Hakugyokuro,

    Urameshiya
    CHIEF EXECUTIVE ADMINISTRATOR
    avatar
    Meira
    Landelijk Touhou fighter-kampioen

    Leeftijd : 23
    Speciale vermogens : Uberpower in Hisoutensoku

    Re: Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van Meira op do jun 05, 2014 10:08 pm

    ''He een topic die WCP heeft gemaakt!''
    *klik*
    WALL OF TEXT



    _______________________


    Credits naar Mitch
    avatar
    UNOwen
    Maestro

    Leeftijd : 22
    Speciale vermogens : Ik ben een Zubat in het eerste stadium van zijn leven.

    Re: Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van UNOwen op zo jun 08, 2014 12:47 am

    TL;DR

    Nee het was best cool. Ook al heb ik veel ervan al gehoord van je tijdens de bickysessies.

    Dat ding met de bollen is nog steeds een van de grootste mindfucks voor mij.

    Request: ik wil het bewijs voor die bollenstelling.

    En Meira really, als je het niet leest hoef je ook niet zo'n post als dat te maken eh...

    En Jan, gebruik de damn 'uitvullen' functie!


    _______________________

    avatar
    Meira
    Landelijk Touhou fighter-kampioen

    Leeftijd : 23
    Speciale vermogens : Uberpower in Hisoutensoku

    Re: Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van Meira op wo jun 11, 2014 4:53 pm

    UNOwen schreef:TL;DR

    Nee het was best cool. Ook al heb ik veel ervan al gehoord van je tijdens de bickysessies.

    Dat ding met de bollen is nog steeds een van de grootste mindfucks voor mij.

    Request: ik wil het bewijs voor die bollenstelling.

    En Meira really, als je het niet leest hoef je ook niet zo'n post als dat te maken eh...

    En Jan, gebruik de damn 'uitvullen' functie!

    Oi oi oi, ik heb het gelezen ik begrijp er alleen niks van en het is toch een wall of text of vind je van niet?


    _______________________


    Credits naar Mitch
    avatar
    fzeromaster
    Doodgewone heks (m/v)

    Leeftijd : 27
    Speciale vermogens : H.A.N.A.: Hyper-Accelerated Neuron Activity

    Re: Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van fzeromaster op wo jun 11, 2014 10:17 pm

    Mooi geschreven tekst. Het meeste heb ik ervan begrepen, en je kennis van wiskunde is ongetwijfeld meesterlijk. Maar de lay-out... nuhhh. Wiskunde heeft van nature uit gigantische alineas aan tekst als je n cursus schrijft, maar voor n webartikel hou je het beter beknopt. Je schrijfstijl werkt voor een boek, maar niet om van het scherm af te lezen.

    Also, ik veronderstel dat dit een inleiding is op de modeltheorie en een verdieping van axiomas en hun gevolgen (heb m niet helemaal doorgelezen)? Titels en subtitels zullen het geheel al verteerbaarder maken. Lost ook 80% van de tl;dr problemen op.

    Een laatste ding is, terwijl jij je projecties van de ene getalverzameling op de andere volledig voor de geest kan halen, zal het voor de meeste TvHers eerder lastig zijn om te zien wat er gaande is. Als het je doel is van ons iets te leren, zijn figuren en schetsen altijd welkom.

    Als je deze aanpassingen doorvoert lees k met veel plezier nog n hoofdstuk door van je werk :)


    _______________________

    Falcon.... COMPUTER! YES!
    avatar
    WCP
    Wiskundemaestro

    Leeftijd : 24
    Speciale vermogens : Ik krijg mijn pot nacho cheese niet open.

    Re: Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van WCP op do jun 12, 2014 1:05 am

    @fzeromaster: Constructieve kritiek als deze kan ik erg appreciëren! Inderdaad, de lay-out vond ik ook maar niks, maar ik had al een aantal schetsen moeten toevoegen: misschien is dat de goeie format voor volgende keer! Sowieso schakel ik voor mijn volgende (grotere) artikel over op een pdf-format, hopelijk vergezeld met wat handgeschreven materiaal zodat het inderdaad wat visueler wordt.


    _______________________

    "Mattentaarten zijn best wel oké."  -WCP, Yuyucon 4
    avatar
    Meira
    Landelijk Touhou fighter-kampioen

    Leeftijd : 23
    Speciale vermogens : Uberpower in Hisoutensoku

    Re: Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van Meira op do jun 12, 2014 2:11 am

    Ja een lay-out zal zeker helpen om het voor men makkelijker te begrijpen en te lezen, aldus wat ik zei het is een Wall of Text. En het idee van een lay-out er om heen veranderd dat principe.


    _______________________


    Credits naar Mitch
    avatar
    Snakke
    Shmupping and Skiing

    Leeftijd : 20
    Speciale vermogens : Discipel zijn van de grote god Marsupilcoatl

    Re: Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van Snakke op za aug 30, 2014 2:35 pm

    Ik weet niet of dit topic nog openstaat voor suggesties, maar ik zou wel eens het verjaardagsparadox uitgelegd willen krijgen.
    Aangezien er niet zolang geleden 3 personen jarig waren wil ik wel eens weten wat de kans is dat er over een jaar (als we veronderstellen dat het forum een even grote groei heeft) iemand is die als vierde op die dag jarig is.
    Of met hoeveel leden het forum moet zijn zodat de kans 50% is dat er op elke dag twee mensen verjaren.


    _______________________

    "Ingenieurs zijn de pooiers van de wetenschappen."
    ~ Lieven Scheire

    Quote kan uit context genomen zijn
    avatar
    Tritium
    Hemelbewoner

    Leeftijd : 25
    Speciale vermogens : The power to offend everyone while trying to be funny

    Re: Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van Tritium op do jul 02, 2015 3:57 pm

    Take the derivative of ln(x)e dx.


    _______________________

    "They think I’m crazy. But I know better. It is not I who am crazy - it is I who am MAD!"

    Gesponsorde inhoud

    Re: Hét -sterk voor sterke verandering vatbare- definitieve wiskundetopic van WCP-senpai

    Bericht van Gesponsorde inhoud


      Het is nu vr okt 20, 2017 2:36 pm